Elementos y Estructura de un Modelo

Diagramas Causales

Los primeros estadios de la conceptualización de un modelo requieren definir el propósito del mismo. En función de ello hay decidir qué elementos han de ser tomados en consideración y cuáles de entre ellos están relacionados de forma que lo que ocurre en uno afecta de manera inmediata al otro. Por cuanto nuestro interés se centra en la variación en el tiempo del valor cuantitativo atribuido a cada elemento (variable), las influencias buscadas son las que su manifestación consista en que una variable aumente o disminuya en función de que otra, de la cual depende, experimente algún tipo de variación. Una forma natural de representar elementos y relaciones es mediante un grafo orientado. A veces, cuando el sentido de la influencia es conocido, se suele incluir un signo más o un signo menos que hace alusión a una influencia del mismo sentido o de sentido opuesto según el caso. Por ejemplo, si la densidad de coches aumenta o disminuye cabe esperar que el número de accidentes también aumente o disminuya respectivamente. Existe, por tanto, una influencia en el mismo sentido. Por el contrario, las  ventas  de  coches  seguramente  dependerán  del  precio  de  los  mismos  pero  la influencia será esta vez de sentido opuesto.

 

      

Establecer un grafo en el que aparezcan representados todos los elementos que componen  el  modelo  junto  con  sus  relaciones  supone  un  paso  importante  en  la definición de la estructura del mismo. Un grafo de esas características se conoce como diagrama causal o de influencias.

Lazos realimentados

El tipo de problemas en los que habitualmente trabaja la Dinámica de Sistemas se caracteriza porque en éstos siempre aparecen relaciones causales estructuradas en bucles cerrados. Una acción ejecutada por o sobre un elemento del bucle se propaga por el mismo de manera que tarde o temprano esa acción repercute sobre sus propios valores futuros. Conviene distinguir dos tipos de lazos realimentados, lazos positivos y negativos. Positivos son aquellos en los que una variación en un elemento se ve reforzada por las influencias mutuas entre los elementos. Por el contrario, en los lazos negativos una variación en cualquiera de sus elementos tiende a ser contrarrestada por las influencias en sentido contrario que se generan en el lazo.

Un lazo positivo tiende a producir situaciones de crecimiento o decrecimiento ilimitado, mientras que un lazo negativo tiende a producir equilibrio.

Tipos de variables

Distinguiremos tres tipos de variables en función de su propio cometido en el modelo. Variables de nivel, variables de flujo y variables auxiliares.

·         Las variables de nivel: suponen la acumulación en el tiempo de una cierta magnitud. Son las variables de estado del sistema, en cuanto que los valores que toman determinan la situación en la que se encuentra el mismo.

·         Las variables de flujo: expresan de manera explícita la variación por unidad de tiempo de los niveles. No es siempre inmediato decidir cuál de los tres tipos será el apropiado para representar a un elemento determinado del sistema real en estudio.

·         Las variables auxiliares: son, como su nombre indica, variables de ayuda en el modelo. Su papel auxiliar consiste en colaborar en la definición de las variables de flujo y en documentar el modelo haciéndolo más comprensible.

Además de las variables, en todo modelo habrá también parámetros, o  variables que se mantienen constantes durante todo el horizonte temporal de ejecución del modelo.

Organización de las variables y parámetros. Representación gráfica

Toda variable de nivel va unida a una o más variables de flujo las cuales son responsables de la variación de la primera. De hecho, un nivel sólo cambia en cuanto se llena o vacía por los flujos que le afectan.

En la figura anterior puede verse un diagrama de flujo en abstracto y un ejemplo de un posible  fragmento  de  modelo  concreto  con  idéntica  estructura.  En  él  aparece  una variable de nivel junto con una variable de flujo que lo llena. Matemáticamente la variable de flujo supone la variación por unidad de tiempo del nivel y se representa con un cierto aspecto de válvula que está controlando el fluir de la magnitud que se acumula en el nivel. Su valor se establece en función de una variable auxiliar y de un parámetro. A su vez, la variable auxiliar depende del nivel y de otro parámetro. Las líneas de información  representan  la  dirección  de  las  relaciones  de  dependencia  entre  las variables.

En todo sistema dinámico autónomo, la variación de sus estados depende de los valores en que se encuentran dichos estados. Un modelo mantiene la siguiente organización:

•       Las líneas de información tienen siempre como punto de partida inicial los niveles o los parámetros y como punto de destino final los flujos. Dicho de otra manera, las variables de flujo son función de los niveles y de los parámetros.

•    Las variables auxiliares forman parte de los caminos de información. Usualmente aparecerán variables auxiliares entre la información que arranca en los niveles y su destino final en los flujos. Estas variables van configurando la función que finalmente definirá a un flujo, de manera que documentan en forma comprensible cada paso en el tratamiento de la información que determina la definición de la variable de flujo.

•       No  tiene  sentido  un  bucle  cerrado  construido únicamente con variables auxiliares. En todo lazo cerrado debe de aparecer un nivel y, en consecuencia, al menos un flujo.

•      Cuando  un  sistema  no  sea  autónomo,  es  decir,  cuando  existan variables exógenas influyendo en el comportamiento del mismo, una o más líneas  de  información  podrán  evidentemente,  y  excepcionalmente,  tener  su origen en una variable auxiliar. Si así no fuera, la variable exógena no podría influir de ninguna manera en el modelo.

Subsistemas conservativos

En un modelo hay que atribuir dimensiones a sus variables de manera que todas ellas se midan en unas determinadas unidades de medida. Si los niveles se miden en unas ciertas unidades, sus flujos asociados deberán medirse en esas mismas unidades partido tiempo.

Una regla fundamental de construcción de diagramas de flujo exige que no puedan mezclarse distintas unidades. De esta manera los niveles se asocian entre sí en cascada o en paralelo formando estructuras por las que solo circula el mismo tipo de unidades bajo el control de flujos que se miden en esas mismas unidades por unidad de tiempo. Esas estructuras son conservativas en el sentido de que si se incluye en el balance los sumideros y las fuentes la cantidad total de la magnitud acumulada en las mismas se conserva.

Ecuaciones

Todas las relaciones entre las variables deben ser explícitamente cuantificadas. La forma más frecuente de establecer la relación entre dos variables es mediante una expresión analítica que proporciona  la función que relaciona ambas variables. Poco más puede decirse en abstracto a cerca de las ecuaciones por cuanto dependerán muy específicamente de cada situación particular.

Las ecuaciones de variables auxiliares pueden adoptar cualquier forma analítica si bien, por su propia naturaleza de variables añadidas para simplificar la descripción, no tienen porque ser expresiones complicadas. Muchas veces no se conocerá la relación algebraica precisa pero se puede tener un conocimiento expresable mediante una gráfica. Esta gráfica se traducirá en   una tabla en el momento de su implementación. Esta forma de establecer dependencias es muy útil cuando el conocimiento de la relación entre dos variables auxiliares tiene un carácter experimental y, también, cuando se desconoce la naturaleza exacta de la relación se introducen hipótesis plausibles para la misma.

Las ecuaciones más problemáticas de decidir siempre son las correspondientes a algunos flujos. En particular a aquellos que definen las políticas del sistema. Los cambios en el estado del sistema corresponden a los flujos. Por ello, los flujos son los puntos del modelo donde se plasman las decisiones importantes. Cuál va a ser la política de contratación, cuál la de incremento de la inversión, de que dependen los contagios, son ejemplos de flujos típicos. Una buena parte del esfuerzo de construcción del modelo deberá dedicarse a la determinación de estos flujos.

Las ecuaciones correspondientes a los niveles son siempre iguales. Un nivel es siempre y por definición la integración de todos los flujos que le afectan. De esta manera, una vez establecidas todas las relaciones, si se especifican los valores que inicialmente tienen los niveles y se atribuyen valores a los parámetros se dispone de un conjunto de ecuaciones que el ordenador integrará numéricamente para proporcionar la evolución temporal de las variables. Dicho conjunto de ecuaciones es el modelo matemático propiamente dicho. Existen compiladores de simulación específicos de Dinámica de Sistemas.

Bibliografía:

Torrealdea J., Elementos y estructura de un modelo, Construyendo modelos, Profesor de Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial.