Elementos y Estructura de un Modelo

Diagramas Causales

Los primeros estadios de la conceptualización de un modelo requieren definir el propósito del mismo. En función de ello hay decidir qué elementos han de ser tomados en consideración y cuáles de entre ellos están relacionados de forma que lo que ocurre en uno afecta de manera inmediata al otro. Por cuanto nuestro interés se centra en la variación en el tiempo del valor cuantitativo atribuido a cada elemento (variable), las influencias buscadas son las que su manifestación consista en que una variable aumente o disminuya en función de que otra, de la cual depende, experimente algún tipo de variación. Una forma natural de representar elementos y relaciones es mediante un grafo orientado. A veces, cuando el sentido de la influencia es conocido, se suele incluir un signo más o un signo menos que hace alusión a una influencia del mismo sentido o de sentido opuesto según el caso. Por ejemplo, si la densidad de coches aumenta o disminuye cabe esperar que el número de accidentes también aumente o disminuya respectivamente. Existe, por tanto, una influencia en el mismo sentido. Por el contrario, las  ventas  de  coches  seguramente  dependerán  del  precio  de  los  mismos  pero  la influencia será esta vez de sentido opuesto.

 

      

Establecer un grafo en el que aparezcan representados todos los elementos que componen  el  modelo  junto  con  sus  relaciones  supone  un  paso  importante  en  la definición de la estructura del mismo. Un grafo de esas características se conoce como diagrama causal o de influencias.

Lazos realimentados

El tipo de problemas en los que habitualmente trabaja la Dinámica de Sistemas se caracteriza porque en éstos siempre aparecen relaciones causales estructuradas en bucles cerrados. Una acción ejecutada por o sobre un elemento del bucle se propaga por el mismo de manera que tarde o temprano esa acción repercute sobre sus propios valores futuros. Conviene distinguir dos tipos de lazos realimentados, lazos positivos y negativos. Positivos son aquellos en los que una variación en un elemento se ve reforzada por las influencias mutuas entre los elementos. Por el contrario, en los lazos negativos una variación en cualquiera de sus elementos tiende a ser contrarrestada por las influencias en sentido contrario que se generan en el lazo.

Un lazo positivo tiende a producir situaciones de crecimiento o decrecimiento ilimitado, mientras que un lazo negativo tiende a producir equilibrio.

Tipos de variables

Distinguiremos tres tipos de variables en función de su propio cometido en el modelo. Variables de nivel, variables de flujo y variables auxiliares.

·         Las variables de nivel: suponen la acumulación en el tiempo de una cierta magnitud. Son las variables de estado del sistema, en cuanto que los valores que toman determinan la situación en la que se encuentra el mismo.

·         Las variables de flujo: expresan de manera explícita la variación por unidad de tiempo de los niveles. No es siempre inmediato decidir cuál de los tres tipos será el apropiado para representar a un elemento determinado del sistema real en estudio.

·         Las variables auxiliares: son, como su nombre indica, variables de ayuda en el modelo. Su papel auxiliar consiste en colaborar en la definición de las variables de flujo y en documentar el modelo haciéndolo más comprensible.

Además de las variables, en todo modelo habrá también parámetros, o  variables que se mantienen constantes durante todo el horizonte temporal de ejecución del modelo.

Organización de las variables y parámetros. Representación gráfica

Toda variable de nivel va unida a una o más variables de flujo las cuales son responsables de la variación de la primera. De hecho, un nivel sólo cambia en cuanto se llena o vacía por los flujos que le afectan.

En la figura anterior puede verse un diagrama de flujo en abstracto y un ejemplo de un posible  fragmento  de  modelo  concreto  con  idéntica  estructura.  En  él  aparece  una variable de nivel junto con una variable de flujo que lo llena. Matemáticamente la variable de flujo supone la variación por unidad de tiempo del nivel y se representa con un cierto aspecto de válvula que está controlando el fluir de la magnitud que se acumula en el nivel. Su valor se establece en función de una variable auxiliar y de un parámetro. A su vez, la variable auxiliar depende del nivel y de otro parámetro. Las líneas de información  representan  la  dirección  de  las  relaciones  de  dependencia  entre  las variables.

En todo sistema dinámico autónomo, la variación de sus estados depende de los valores en que se encuentran dichos estados. Un modelo mantiene la siguiente organización:

•       Las líneas de información tienen siempre como punto de partida inicial los niveles o los parámetros y como punto de destino final los flujos. Dicho de otra manera, las variables de flujo son función de los niveles y de los parámetros.

•    Las variables auxiliares forman parte de los caminos de información. Usualmente aparecerán variables auxiliares entre la información que arranca en los niveles y su destino final en los flujos. Estas variables van configurando la función que finalmente definirá a un flujo, de manera que documentan en forma comprensible cada paso en el tratamiento de la información que determina la definición de la variable de flujo.

•       No  tiene  sentido  un  bucle  cerrado  construido únicamente con variables auxiliares. En todo lazo cerrado debe de aparecer un nivel y, en consecuencia, al menos un flujo.

•      Cuando  un  sistema  no  sea  autónomo,  es  decir,  cuando  existan variables exógenas influyendo en el comportamiento del mismo, una o más líneas  de  información  podrán  evidentemente,  y  excepcionalmente,  tener  su origen en una variable auxiliar. Si así no fuera, la variable exógena no podría influir de ninguna manera en el modelo.

Subsistemas conservativos

En un modelo hay que atribuir dimensiones a sus variables de manera que todas ellas se midan en unas determinadas unidades de medida. Si los niveles se miden en unas ciertas unidades, sus flujos asociados deberán medirse en esas mismas unidades partido tiempo.

Una regla fundamental de construcción de diagramas de flujo exige que no puedan mezclarse distintas unidades. De esta manera los niveles se asocian entre sí en cascada o en paralelo formando estructuras por las que solo circula el mismo tipo de unidades bajo el control de flujos que se miden en esas mismas unidades por unidad de tiempo. Esas estructuras son conservativas en el sentido de que si se incluye en el balance los sumideros y las fuentes la cantidad total de la magnitud acumulada en las mismas se conserva.

Ecuaciones

Todas las relaciones entre las variables deben ser explícitamente cuantificadas. La forma más frecuente de establecer la relación entre dos variables es mediante una expresión analítica que proporciona  la función que relaciona ambas variables. Poco más puede decirse en abstracto a cerca de las ecuaciones por cuanto dependerán muy específicamente de cada situación particular.

Las ecuaciones de variables auxiliares pueden adoptar cualquier forma analítica si bien, por su propia naturaleza de variables añadidas para simplificar la descripción, no tienen porque ser expresiones complicadas. Muchas veces no se conocerá la relación algebraica precisa pero se puede tener un conocimiento expresable mediante una gráfica. Esta gráfica se traducirá en   una tabla en el momento de su implementación. Esta forma de establecer dependencias es muy útil cuando el conocimiento de la relación entre dos variables auxiliares tiene un carácter experimental y, también, cuando se desconoce la naturaleza exacta de la relación se introducen hipótesis plausibles para la misma.

Las ecuaciones más problemáticas de decidir siempre son las correspondientes a algunos flujos. En particular a aquellos que definen las políticas del sistema. Los cambios en el estado del sistema corresponden a los flujos. Por ello, los flujos son los puntos del modelo donde se plasman las decisiones importantes. Cuál va a ser la política de contratación, cuál la de incremento de la inversión, de que dependen los contagios, son ejemplos de flujos típicos. Una buena parte del esfuerzo de construcción del modelo deberá dedicarse a la determinación de estos flujos.

Las ecuaciones correspondientes a los niveles son siempre iguales. Un nivel es siempre y por definición la integración de todos los flujos que le afectan. De esta manera, una vez establecidas todas las relaciones, si se especifican los valores que inicialmente tienen los niveles y se atribuyen valores a los parámetros se dispone de un conjunto de ecuaciones que el ordenador integrará numéricamente para proporcionar la evolución temporal de las variables. Dicho conjunto de ecuaciones es el modelo matemático propiamente dicho. Existen compiladores de simulación específicos de Dinámica de Sistemas.

Bibliografía:

Torrealdea J., Elementos y estructura de un modelo, Construyendo modelos, Profesor de Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial.

Dinamica de Sistemas

    Historia

El origen de esta técnica se remonta a finales de los años cincuenta y su implantación definitiva se produce durante la década de los sesenta. El desarrollo de este método se debe al trabajo de J. W. Forrester del Instituto Tecnológico de Massachussets, el cual por primera vez utilizó técnicas pertenecientes a las disciplinas de ingeniería automática para el estudio de procesos sociales y económicos. Forrester construyó un puente entre los métodos empleados por los ingenieros en problemas tecnológicos y los métodos  específicos  de  estudio  de  sistemas  sociales.  Al  igual  que  ocurre  en  la automática, la búsqueda de los lazos de realimentación que operan dentro de un sistema y la forma en que estos determinan el comportamiento dinámico del mismo constituye la piedra angular sobre la que descansa la Dinámica de Sistemas.

                                                                   J. W. Forrester

¿Qué es la Modelación Dinámica de Sistemas?

En los ámbitos en los que la Dinámica de Sistemas intenta construir modelos de funcionamiento no suele haber leyes de comportamiento perfectamente establecidas. Los sistemas objeto de su estudio no están descritos por leyes matemáticas de carácter cuantitativo preciso y aceptadas unánimemente por la comunidad científica. En estos sistemas sí que hay expertos que conocen bien aquello con lo que trabajan, pero no siempre hay unanimidad de criterio entre los propios expertos. Es de notar, por otra parte, que el reino de las matemáticas es tremendamente limitado dentro del espectro total del conocimiento. De hecho, la matemática sólo aparece en todo su esplendor dentro de las regiones más profundas de la física teórica.

No obstante, para que la Dinámica de Sistemas decida ocuparse de un problema, se requiere que, aun cuando no se conozcan leyes precisas que lo describan, los elementos que integran el sistema problemático posean atributos cuantificables y puedan llegar a ser establecidas relaciones funcionales de naturaleza cuantitativa entre dichos atributos. Así, con esta técnica, se han realizado aportaciones de interés en terrenos tan diversos como biología, economía, gestión empresarial, urbanismo, psicología y muchos otros.

Un modelo terminado   supone   un   conocimiento   que   previamente   no   existía. Supone  el descubrimiento de una especie de teoría de funcionamiento del sistema en estudio. Por lo tanto, la Dinámica de Sistemas es, antes que nada, un método de construcción de modelos. Una vez construido el modelo, no se estará interesado en una respuesta cuantitativa precisa. La búsqueda de valores precisos de las variables no sería consistente ni con la   realidad de los   sistemas con los que habitualmente se trabaja ni con la filosofía general subyacente en la construcción del modelo.  La  información  que  se  busca  es  más  bien  de  tipo  cualitativo  tal  como tendencias   al   crecimiento   o   decrecimiento,   al   equilibrio   o   la   fluctuación   y, especialmente, si cabe esperar y de qué pueden depender modificaciones radicales de estas tendencias.

Un modelo de Dinámica de Sistemas se construye para arrojar alguna luz sobre los motivos de un comportamiento anómalo o simplemente, no siendo anómalo, sobre el que desearíamos actuar  o  comprender.  O dicho en otras palabras, debemos extender nuestro consenso no solo a las hipótesis introducidas sino también a la suficiencia de las mismas, teniendo presente que necesariamente infinidad de posibles implicaciones deberán quedar fuera de nuestro modelo. Este es uno de los trabajos más delicados que debe realizar el modelador y significa que debe abordarse con gran tiento la tarea de definir el propósito del modelo y la frontera del mismo. A menudo se critican modelos porque no pueden dar cuenta de aspectos para los que no fueron construidos. No estará de más insistir en que no se puede evaluar un modelo más que con referencia al propósito para el que ha sido construido. No podemos simplemente en abstracto decir que un modelo es bueno o es malo. La tarea más importante del modelador es definir con precisión el problema que pretende ser abordado por el modelo. En palabras de Forrester:

" La habilidad de la persona que decide usar un modelo se manifiesta inmediatamente. Su primera decisión es hacer preguntas pertinentes que tengan respuestas de interés. Las preguntas triviales no pueden menos que conducir a respuestas triviales. Las preguntas que son demasiado generales no sirven para centrar el problema. Las preguntas que son demasiado restrictivas pueden confinar la investigación en regiones que no contienen ninguna respuesta. Las preguntas que son imposibles de contestar solo pueden conducir a desencanto".

                                            Modelación Dinamica de Sistemas

Bibliografía:

Torrealdea J., Elementos y estructura de un modelo, Construyendo modelos, Profesor de Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial.

Tipos de Sistemas

Para poder determinar el comportamiento  de los sistemas, es necesario conocer la estructura interna del mismo, esto permite determinar una tipología de la estructura de los sistemas y conocer el comportamiento que nos muestran.

 Sistemas estables e inestables

Un sistema  es estable  cuando  se  halla  formado  o  dominado  por  un  bucle negativo,  y  es inestable  cuando  el  bucle  es  positivo.  Es  decir,  cuando  en  el  bucle dominante haya un número impar de relaciones negativas, tendremos un bucle negativo, y el sistema será estable. La estructura básica de los sistema estables está formada por un Estado Deseado y por un Estado Real del sistema, estos dos estados se comparan (Diferencia),  y en  base  a  este valor   el   sistema   toma   una Acción para igualar el Estado Real al Deseado.

Es importante ver como en los sistemas estables la estructura que genera el comportamiento es siempre el mismo: hay un número de relaciones negativas impar, y el bucle es negativo.

Esto significa que el sistema compara permanentemente su estado real con el estado deseado, y cuando existe una diferencia, hace acciones en el sentido de acercar su estado real al deseado. Una vez lograda esta igualdad cualquier alteración de su estado real se traducirá en una acción, proporcional a la diferencia producida, para retomar el estado deseado.

Este es el estado en el que se suele encontrar los sistemas. Cuando se está próximo a ellos, ya han hallado una posición de estabilidad. Si un sistema es inestable difícilmente se puede estudiar ya que se habrá deshecho antes de que se pueda analizar. No obstante si se está diseñando un sistema totalmente nuevo, se debe conocer si va a ser estable. De igual manera si estamos diseñando un cambio en un sistema estable, hay que checar que no se transforme en uno inestable.

La  forma  más  efectiva  de  actuar  contra  la  resistencia  natural  del  sistema  es persuadir o conseguir una modificación de los objetivos de cada uno de los elementos, hacia el objetivo que sea desea dirigir el sistema. En este caso los esfuerzos de todos los elementos se dirigirán hacia el mismo objetivo y el esfuerzo será mínimo para todos ya que no deberán hacer frente a acciones en sentido contrario. Cuando se puede conseguir esto los resultados son espectaculares.

Existen sistemas que carecen de realimentación, y los modelos que se construyan han de ponerlo eso mismo de manifiesto. Cuanto más inteligente sea un sistema (más claros tenga sus objetivos) más estable será.

Sistemas hiperestables

Cuando un sistema está formado por múltiples bucles negativos, cualquier acción que intenta modificar un elemento no se ve contrarrestado sólo por el bucle en el que se halla dicho elemento, sino por todo el conjunto de bucles negativos que actúan en su apoyo, super-estabilizando el sistema.

Un análisis del sistema puede ayudar. Cualquier sistema complejo, sea social o ecológico, está formado por cientos de elementos. Cada elemento se relaciona solo con un número  limitado  de  variables  que  son  importantes  para  él,  y    que  permanentemente compara con sus objetivos. Si existe una discrepancia entre el estado de estas variables y sus objetivos, el elemento actúa de una determinada forma para modificar el sistema. Cuanto mayor es esta discrepancia mayor es la actuación que lleva a cabo el elemento en el sistema. La combinación de todas las acciones de todos los elementos que tratan de ajustar el sistema a sus objetivos conduce al sistema a una posición que no es la que ninguno de ellos quisiera, pero es aquella en la que todos los elementos encuentran una menor desviación entre los parámetros significativos para ellos y sus objetivos.

  

 Sistemas oscilantes

En ocasiones se observa un comportamiento oscilante como algo natural en todos los procesos. Esto es si el estado actual del sistema no gusta o no es el correcto, no es necesario hacer nada ya que todo parece ser cíclico y volverá a la normalidad por sí solo.

Es importante apreciar que el hecho de que un sistema haya tenido un comportamiento cíclico no garantiza que en el futuro lo siga siendo. En la estructura del sistema es donde se asegura que no es necesaria ninguna acción correctora del sistema, o bien en donde se encuentra la forma de actuar más eficazmente.

Sistemas sigmoidales

Son sistemas en los cuales existe un bucle positivo que actúa en un principio como dominante y hace arrancar el sistema exponencialmente, y después el control del sistema lo toma un bucle negativo que anula los efectos del anterior y proporciona estabilidad al sistema, situándolo en un valor asintóticamente.

En este caso siempre se está con el mismo sistema, el cual en un período se ve dominado por una parte del mismo, y después por la otra. Por lo tanto para regular su comportamiento se debe encontrar la forma de promover o anular la parte del sistema interesa.   A  medio  plazo será el bucle negativo el que estabilice el sistema en el valor que tenga como objetivo.

 

Bibliografía:

García, J., Teoría y Ejercicios Prácticos de Dinámica de Sistemas, Tercera Edición, Enero 2010.